доказать что вектор (a;b) перпендикулярен прямой ax+by+c=0

Для доказательства второго рассмотрим произвольное уравнение первого порядка с двумя неизвестными ax + by + c = 0, a2 + b2 ≠ 0. Это уравнение имеет хотя бы одно решение. Например, если a = 0, то решением уравнения является x = c/a, у = 0. Это значит, что геометрический образ уравнения является непустым и содержит какие-то точки. Пусть точка M0(x0; у0) принадлежит указанному образу, т.е. выполняется равенство ax0 + by0 + c = 0. Вычтем это равенство из рассматриваемого уравнения. В результате получим новое уравнение, эквивалентное исходному. Это новое уравнение после перегруппировки слагаемых примет вид

Зная координаты векторов М0М = {x x0; у у0} и n, запишем условие ортогональности этих векторов через их скалярное произведение: a(x x0) + b(y у0) = 0 или ax + by + c =0, где c = ax0 by0. Так как n ≠ 0, то либо a ≠ 0, либо b ≠ 0. Первое утверждение теоремы доказано.

◄ Рассмотрим произвольную прямую L на плоскости. Пусть точка M0(x0; у0) лежит на L, а ненулевой вектор n = {a; b} перпендикулярен этой прямой. При таких исходных условиях произвольная точка М(x; у) принадлежит прямой L тогда и только тогда, когда вектор М0М ортогонален вектору n (рис. 4.4).

Теорема 4.1. Любая прямая на плоскости представляет собой алгебраическую кривую первого порядка и любая алгебраическая кривая первого порядка на плоскости есть прямая.

Остановимся на изучении алгебраических кривых первого порядка на плоскости, т.е. кривых, которые в некоторой прямоугольной системе координат описываются алгебраическим уравнением первого порядка ax + by + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов a или b отличен от нуля1. Это уравнение называют также линейным уравнением.

Алгебраические кривые первого порядка

Курс аналитической геометрии Алгебраические кривые первого порядка

Алгебраические кривые первого порядка, теория по курсу аналитической геометрии.